Да, может.
Приостановление действия трудового договора и особенности предоставления отпусков во время действия военного положения предусмотрены Законом от 15.03.2022 № 2136-IX «Об организации трудовых отношений в условиях военного положения» (далее – Закон № 2136).
Согласно абзацу второму ч. 1 ст. 13 Закона № 2136 во время и за период приостановления действия трудового договора работодатель не обязан выплачивать работнику заработную плату, осуществлять гарантийные и компенсационные выплаты (кроме сумм, положенных такому работнику на день приостановления действия трудового договора) и обеспечивать условия труда, необходимые для выполнения работы, предусмотренные законодательством о труде, коллективным договором и трудовым договором (в т. ч. предоставлять, оплачивать и компенсировать любые отпуска, дни отдыха, пособие по временной нетрудоспособности, подавать соответствующие заявления-расчеты, предусмотренные законодательством об общеобязательном государственном социальном страховании).
Кроме того, согласно абзацу третьему ч. 1 ст. 12 Закона № 2136 во время действия военного положения предоставление работнику отпуска любого вида (кроме отпуска по беременности и родам, отпуска по уходу за ребенком до достижения им трехлетнего возраста и отпуска в связи с усыновлением ребенка) сверх ежегодного основного отпуска (продолжительностью 24 к. д.) по решению работодателя может осуществляться без сохранения заработной платы. Предоставление неиспользованных дней такого отпуска переносится на период после прекращения или отмены военного положения. По решению работодателя неиспользованные дни такого отпуска могут предоставляться без сохранения заработной платы.
Таким образом, во время приостановки действия трудового договора работодатель может отказать в предоставлении работнику любого отпуска (кроме упомянутых выше исключений), в частности и дополнительного социального отпуска на детей.
В то же время, если такой работник уже воспользовался ежегодным основным отпуском продолжительностью 24 к. д., работодатель по своему решению может предоставить ему детский отпуск без сохранения заработной платы.