Нет, листок нетрудоспособности, открытый во время отпуска без сохранения заработной платы, не оплачивается, и такой отпуск не продлевается.
В соответствии с пп. 6 ч. 1 ст. 16 Закона от 23.09.1999 № 1105-XIV «Об общеобязательном государственном социальном страховании» пособие по временной нетрудоспособности не предоставляется, в частности, за период пребывания застрахованного лица в отпуске без сохранения заработной платы. Поэтому если период болезни полностью совпадает со временем такого отпуска, независимо от оснований его предоставления, пособие по временной нетрудоспособности за этот период не предоставляется (о других случаях неоплаты листка нетрудоспособности читайте в статье «Оплачивать ли дни временной нетрудоспособности работнику, который длительное время не является на работу?»).
Что касается (не)переноса отпуска без сохранения зарплаты, если временная нетрудоспособность наступила во время пребывания в нем работника, то возможность переноса или продления отпуска, который совпал с временной нетрудоспособностью, предусмотрена только для ежегодного отпуска. Случаи переноса или продления ежегодного отпуска приведены в ст. 11 Закона от 15.11.1996 № 504/96-ВР «Об отпусках» (подробнее о переносе или продлении ежегодного отпуска читайте в статье «Перенос и продление отпусков в мирное и военное время»).